勾股数――高级
（你也许想去浏览关于勾股定理的内容
或者先阅读勾股数入门）
"勾股数"是符合以下规则的一组整数, a、b 和 c：
a2 + b2 = c2
三角形若三角形的边长是 a、b 和 c，则三角形是直角三角形（去浏览勾股定理了解更多）：
注意：
c 是 三角形最长的边，叫 "斜边"（也叫弦）
a 和 b 是两条直角边。（短的叫勾，长的叫股）
勾股数
勾股数例子：
3, 4, 5
5, 12, 13
9, 40, 41
32 + 42 = 52
52 + 122 = 132
92 + 402 = 412
9 + 16 = 25
25 + 144 = 169
（自己试试看！）
无穷
有无穷多的勾股数。
我们可以用第一个勾股数组（3、4 和 5）来证明：
若 n 为大于 1 的整数，则 3n、4n 和 5n 也是一个勾股数组。因为：
(3n)2 + (4n)2 = (5n)2
例子：
n
(3n, 4n, 5n)
2
(6,8,10)
3
(9,12,15)
...
…… 等 ……
所以我们可以用（3、4、5）来生成无穷多的勾股数。
有无穷多的勾股数――欧几里得的证明
欧几里得用另一个方法来证明有无穷多的勾股数。
这个证明是基于：两个连续的数的平方的差必然是个奇数
例子：
22 − 12 = 4−1 = 3（奇数），
152 − 142 = 225−196 = 29（奇数）
每个奇数都等于两个连续的数的平方的差。看看这个列表：
n
n2
差
1
1
2
4
4−1 = 3
3
9
9−4 = 5
4
16
16−9 = 7
5
25
25−16 = 9
……
……
……
我们知道有无穷多的奇数，并且奇平方数是奇数的子集，而无穷大的一部分还是无穷大，所以也有无穷多的奇平方数。因此，也有无穷多的勾股数。
属性
趣事：每组勾股数：
全都是偶数，或者
是两个奇数和一个偶数。
一个勾股数组不能全是奇数，也不能是两个偶数和一个奇数。因为：
奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数。
两个偶数的和是偶数，偶数与奇数的和是奇数。
因此，若 a 和 b 都是偶数，则 c 也是偶数。同样，若 a 和 b 其中一个是奇数而另一个是偶数，c 便必然是奇数！
求勾股数
求勾股数其实很容易。
设 m 和 n 为任何不同的正整数（m < n）：
a = n2 − m2
b = 2nm
c = n2 + m2
则 a、b 和 c 是勾股数。
例子：m=1、n=2
a = 22 - 12 = 4 − 1 = 3
b = 2 × 2 × 1 = 4
c = 22 + 12 = 5
我们得到第一组勾股数（3、4、5).
当 m=2、n=3 时，结果就是下一组勾股数（5、12、13）。
前几组勾股数
这是所有 a、b、c 都小于 1,000 的勾股数
这里只列出第没有公因数的勾股数（叫素勾股数），所以（a、b、c）的倍数，例如（2a、2b、2c）和（3a、3b、3c）等等都没有列出来。
例子：（3、4、5）是勾股数。（6、8、10）也是，但不在列表里，因为它只不过是（3、4、5）乘 2.
(3,4,5)
(5,12,13)
(7,24,25)
(8,15,17)
(9,40,41)
(11,60,61)
(12,35,37)
(13,84,85)
(15,112,113)
(16,63,65)
(17,144,145)
(19,180,181)
(20,21,29)
(20,99,101)
(21,220,221)
(23,264,265)
(24,143,145)
(25,312,313)
(27,364,365)
(28,45,53)
(28,195,197)
(29,420,421)
(31,480,481)
(32,255,257)
(33,56,65)
(33,544,545)
(35,612,613)
(36,77,85)
(36,323,325)
(37,684,685)
(39,80,89)
(39,760,761)
(40,399,401)
(41,840,841)
(43,924,925)
(44,117,125)
(44,483,485)
(48,55,73)
(48,575,577)
(51,140,149)
(52,165,173)
(52,675,677)
(56,783,785)
(57,176,185)
(60,91,109)
(60,221,229)
(60,899,901)
(65,72,97)
(68,285,293)
(69,260,269)
(75,308,317)
(76,357,365)
(84,187,205)
(84,437,445)
(85,132,157)
(87,416,425)
(88,105,137)
(92,525,533)
(93,476,485)
(95,168,193)
(96,247,265)
(100,621,629)
(104,153,185)
(105,208,233)
(105,608,617)
(108,725,733)
(111,680,689)
(115,252,277)
(116,837,845)
(119,120,169)
(120,209,241)
(120,391,409)
(123,836,845)
(124,957,965)
(129,920,929)
(132,475,493)
(133,156,205)
(135,352,377)
(136,273,305)
(140,171,221)
(145,408,433)
(152,345,377)
(155,468,493)
(156,667,685)
(160,231,281)
(161,240,289)
(165,532,557)
(168,425,457)
(168,775,793)
(175,288,337)
(180,299,349)
(184,513,545)
(185,672,697)
(189,340,389)
(195,748,773)
(200,609,641)
(203,396,445)
(204,253,325)
(205,828,853)
(207,224,305)
(215,912,937)
(216,713,745)
(217,456,505)
(220,459,509)
(225,272,353)
(228,325,397)
(231,520,569)
(232,825,857)
(240,551,601)
(248,945,977)
(252,275,373)
(259,660,709)
(260,651,701)
(261,380,461)
(273,736,785)
(276,493,565)
(279,440,521)
(280,351,449)
(280,759,809)
(287,816,865)
(297,304,425)
(300,589,661)
(301,900,949)
(308,435,533)
(315,572,653)
(319,360,481)
(333,644,725)
(336,377,505)
(336,527,625)
(341,420,541)
(348,805,877)
(364,627,725)
(368,465,593)
(369,800,881)
(372,925,997)
(385,552,673)
(387,884,965)
(396,403,565)
(400,561,689)
(407,624,745)
(420,851,949)
(429,460,629)
(429,700,821)
(432,665,793)
(451,780,901)
(455,528,697)
(464,777,905)
(468,595,757)
(473,864,985)
(481,600,769)
(504,703,865)
(533,756,925)
(540,629,829)
(555,572,797)
(580,741,941)
(615,728,953)
(616,663,905)
(696,697,985)
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